LOS VEDAS Y LA MATEMÁTICA EN LA INDIA
(A la memoria del amigo y colega Aldo Aguilera M., Phd. Cs. Químicas)

Al principio de la década de los 80 llegó a mis manos el libro “Vedic Mathematics or sixteen simple mathematical formulae from Vedas. Sixteen sutras and their corollaries”, Editado por Hindu Vishvavidyalaya Sanskrit Publication Board en Benares, India en 1965, de la autoría de “Sannkaracarya, Jagadguru” (*). Fue tanto el interés que tuve por su lectura, no tanto por la matemática que encontraría en él, sino que también por conocer algo acerca de la cultura milenaria India, que lo leí con apasionamiento desde principio a fin en muy poco tiempo. Todo lo que encontré en este libro fue en extremo apasionante lo que me motivó posteriormente a extraer algunos tópicos del Libro, los que analicé e investigué, encontrando nuevos conocimientos que se derivaban de ellos. Así se lo comenté por esos días a un colega y amigo del Instituto de Química, Dr. Aldo Aguilera M., de mi Universidad, quién se entusiasmó tanto en el tema que me pidió que diera una conferencia en su Instituto acerca de lo que trataba el libro y de los nuevos conocimientos que yo había generado, lo que así hice en Junio de 1984, despertando con ella, también, un gran interés en todos los asistentes a dicha conferencia. Tal interés me llevó a presentarlos en la Revista CUBO de la Universidad de la Frontera de Temuco Chile, lo que se concretó en la publicación del artículo “ALGORITMOS HINDÚES” en 1986. También ese mismo año, presenté en un congreso de matemáticas organizado por el Departamento de Matemáticas de la misma Universidad, otros conocimientos que se habían generado de las ideas extraídas del mencionado libro, conocimientos que finalmente terminaron por consolidarse en un nuevo artículo “SOLUCIÓN DE LA CUÁRTICA” que fue publicado por la misma revista al año siguiente.

De los temas que presenté en la Conferencia en el Instituto de Química, extraigo algunos conocimientos que creo son de interés, para quienes lean este escrito y que corresponden a algunas consideraciones acerca de los Vedas que hace el autor Sannkaracarya, Jagadguru , en el citado libro y, algunas acerca de la Matemática en la India Milenaria, que complementé con otras fuentes, ambas expuestas en la conferencia de 1984 y que ahora traigo a este escrito.

Acerca de los Vedas

Según el autor del libro in comento, la palabra misma “Veda” tiene como significado “La fuente principal e ilimitado almacenamiento de todo el conocimiento”. Esto implica que el Vedas podría incluir en el mismo, todo el conocimiento necesario para el género humano, relatando no sólo los asuntos espirituales, sino que también lo que usualmente se describe como propiamente secular, temporal o mundano, y además los recursos requeridos por la humanidad, para la realización de sucesos completos y perfectos en todas las direcciones concebibles, de todo lo que nos rodea. (**)

En el transcurso de los múltiples razonamientos acerca de los diversos temas, tanto el autor como sus discípulos apuntaron repetidamente, que el Vedas (una de las escrituras religiosas más antiguas del mundo), está relacionado con todas las disciplinas del conocimiento, y entrega al investigador de éstos, todos los requisitos de instrucción y guías en todos los detalles del saber, y en lo científicamente propiamente tal, perfectas líneas de acción.

Los Vedas son cuatro: Rk, Yaju, Sama y atharva, los cuales incluyen a su vez, cuatro Upavedas: Ayurdeva, Gandharvaveda, Dhanurveda y Sthapathyaveda; estos últimos comprenden todas las expresiones del esfuerzo arquitectónico y estructural humano y también las artes visuales. Así tenemos:

(i) Ayurdeva que incluye: anatomía, fisiología, higiene, ciencias sanitarias, ciencias médicas (entre ellas la cirugía), etc.
(ii) Dhanurveda: arquería y otras ciencias militares.
(iii) Gandharvaveda: la ciencia y arte de la música.
(iv) Sthapatyaveda: arquitectura e ingeniería.

El Veda además tiene seis Vedangas que comprenden, gramática, prosodia, astronomía, lexicografía, entre otros.

Tanto los Vedas, como los Upavedas y los Vedangas, forman un cuerpo indivisible de conocimiento divino.

En el Atharveda se encuentran los Sutras (aforismos), destinados a cubrir cada una de las partes de cada capítulo, de cada una de las disciplinas de las matemáticas, incluyendo, aritmética, álgebra, geometría plana y sólida, trigonometría plana y esférica, cónicas -estudiadas –geométrica y analíticamente-, astronomía, cálculo diferencial e integral, etc.

Según los discípulos del autor del libro Matemáticas Vedicas que traigo en este escrito, él después de ocho años de investigación del Atharveda, escribió 16 volúmenes acerca de los temas matemáticos dichos en el párrafo anterior, los que estaban desarrollados mediante fórmulas básicas, lamentablemente, según estos mismos discípulos, estos volúmenes se perdieron, pero a pesar de este hecho, el autor antes de su muerte alcanzó a rescribir el libro “Matemáticas Védicas”.

Algunas observaciones acerca de la historia de las matemáticas indias.

Respecto de la historia de las matemáticas indias, se pueden citar algunos pasajes de ciertos indologistas (así se hacen llamar por sus estudios de la cultura India), que al mismo tiempo han sido matemáticos modernos e historiadores de la matemática.

En la página 20 del libro “Acerca de los fundamentos y técnicas de la aritmética”, del profesor G. P. Halstead, se encuentra lo siguiente:

“La importancia de la creación del cero, no puede ser exagerada. Una de las características de la raza india desde sus comienzos, es no haber asignado al cero ningún valor, figura ni lugar determinado. Ninguna creación matemática ha sido tan poderosa para el progreso de la inteligencia y el poder”.

En su artículo “The present mode of expressing numbers” (Las formas actuales de expresar los números) publicado en la revista Indian Historical Quaterly Vol. 3, págs. 530-540, B. B. Dutta escribe:

“Los Indios adoptaron la escala decimal muy tempranamente. El lenguaje numérico de ninguna otra nación era tan científico y con tal estado de perfección que el de los antiguos indios. En los símbolos ellos lograron expresar cualquier número en forma simple y elegante solamente con diez signos. Es la belleza de la notación numérica india, la que atrajo la atención de todos los pueblos civilizados del mundo y quedaron tan encantados de ésta, que la adoptaron”.

En “Bulletin of the American Mathemathical society”, segunda serie, Vol. 25, págs. 366-369, el profesor Ginsburg, en su artículo “New Light on our numerals” (Nuevas Luces acerca de nuestros numerales), dice:

“La notación india fue llevada a Arabia alrededor del año 770 d. c. Por un erudito llamado Kanka, quien fue invitado desde Ujjain a la famosa corte de Bagdad por el Abbaside Califa Al-Manzur (miembro de la dinastía que gobernó el Islam desde el año 750 d.c. hasta el año 1258 d.c.). Kanka enseñó astronomía y matemáticas indias a los escolares árabes, y con su ayuda, ellos tradujeron al árabe el Brama-Sphuta-Sidhanta, desde el Brama Gupta. Los recientes descubrimientos del investigador francés M. F. Nau, prueban que los numerales indios eran bien conocidos y apreciados en Siria, a la mitad del siglo séptimo d.c.”.

Acerca de este último punto, B. B. Dutta escribe, “Desde Arabia los numerales lentamente marcharon hacia el Oeste a través de Egipto y del norte de Arabia para finalmente entrar en Europa en el siglo XI. Los europeos llamaron a estos numerales, NOTACIÓN ARABICA”. Pero los árabes mismos, tanto del este como del Oeste, unánimamente llamaron a esta notación, FIGURAS INDIAS (“Al-Arcan-Al-Hindu”)”.

Las citas anteriores de alguna manera marcan la contribución de la India en el s. VII d.c. y en especial al conocimiento de las matemáticas del mundo.

Algoritmos hindúes

De los algoritmos presentados en 1984, y por por la importancia que todavía encuentro, por su relevancia para la enseñanza de la matemática básica, extraigo uno, que según la fuente de la cual los estudié(*), solucionaba para los niños de esa India ancestral, el problema del aprendizaje de las tablas de multiplicar. Tal algoritmo tiene mucho sentido consignarlo o glosarlo de alguna manera, ya que con su uso y práctica, sería necesario memorizar sólo las tablas de multiplicar hasta la correspondiente al número 5, ya que las restantes, del 6 al 9, se aprenden e internalizan fácilmente, a través de la ejercitación reiterada de este algoritmo. Con ello el niño-alumno, dejaría de angustiarse, al menos, con la memorización de estas tablas de multiplicar, que son las que le causan mayores obstáculos. Hago notar aquí, que este problema, es uno de los que presentan mayores dificultades en el niño que aprende matemática, incluso hasta en nuestros días y, que en muchos de ellos, se arrastra por muchos años, originándose por ello un gran rechazo hacia esta disciplina y que no en pocos casos dura de por vida. En la misma fuente encontré mencionado el hecho que estos conocimientos se encuentran consignados en los Vedas, libros sagrados de la religión Hindú, en que sus característica no son sólo la de relatar materias espirituales, sino que también, de manera tácita, expresiones que corresponden a otras disciplinas cultivadas en la India ancestral; y, como es natural esperarlo, las matemáticas están presentes en ellos, dado que es un conocimiento básico en toda cultura, las que aparecen bajo formas de sutras o aforismos que, por lo complejo de la escritura del sánscrito, son difíciles de interpretar. Finalmente, también en la fuente se informa que por razones desconocidas, estos aprendizajes se perdieron en la lejanía del tiempo.

Sutra o algoritmo Nikhilam

Este algoritmo está basado en la siguiente propiedad algebraica:

(x — a) (x — b ) = x (x — a — b ) + a b

En esta expresión, la letra x se denomina la base y generalmente toma como valor, una potencia de 10 o algún submúltiplo de esta potencia.

Por simplicidad, este algoritmo lo daré a conocer mediante un par de ejemplos.

1. Multiplicación entre los enteros 6 y 8.

Como: 6 = 10 - 4 y 8 = 10 - 2, entonces:
48 = ( 10 - 4 )(10 - 2 )
= 10 x (10 - 4 - 2 ) + 4 x 2
= 10 x ( 6 - 2 ) + 4 x 2

Ahora escribiendo este último resultado en la forma siguiente:

(1) 6 --- 4
(2) 8 --- 2
(3) 4 8

Réstese 6 menos dos y póngase este resultado bajo el 8 ( línea (1) )

Multiplíquese 4 por dos y póngase este resultado bajo el 2 ( línea (2) )

El resultado de la multiplicación entre 6 y 2 aparece en esta línea ( línea (3) )

Nota: A manera de complemento, si se quiere, únase en el diagrama, el 7 con el 4 y el 4 con el 3 con un par de flechas).

Observación. El diagrama anterior debe interpretarse en español (lenguaje materno), como:

Primero, pregúntese cuanto le falta a 6 para ser 10. Obviamente la respuesta es 4. Ambos números se escriben en (1): 6 — 4

Segundo, pregúntese cuánto le falta a 8 para ser 10. Obviamente la respuesta es 2.
Ambos números se escriben en (2). 8 — 2

Tercero, multiplíquese 4 por 2, cuyo resultado es por cierto 8 y escríbase éste bajo los números 4 y 2.

Cuarto, sustraiga 2 a 6, es decir haga la resta 6 - 2 (también puede ser 8 – 4 ), y el resultado que es obviamente 4, escríbase bajo los números 6 y 8.

Finalmente, léase el resultado de la multiplicación de 6 y 8, bajo la línea horizontal, es decir 48 en (3).

2. Multiplicación entre 7 y 6.

Este caso, como los que originan números mayor que la decena en el paso (3), requieren una consideración especial.

De la misma manera que en el ejemplo anterior para (1 y (2):

(1) 7 --- 3
(2) 6 --- 4
(3) 3 2
(4) 1 --- 0
(5) 4 2

Nota: A manera de complemento, si se quiere, únase en el diagrama, el 7 con el 4 y el 4 con el 3 con un par de flechas).

Observación. Nuevamente, El diagrama anterior debe interpretarse en español (lenguaje materno), como:

Primero, pregúntese cuanto le falta a 7 para ser 10. Obviamente la respuesta es 3. Ambos números se escriben en (1): 7 — 3

Segundo, pregúntese cuánto le falta a 6 para ser 10. Obviamente la respuesta es 4.
Ambos números se escriben en (2). 6 — 4

Tercero, multiplíquese 3 por 4, cuyo resultado es por cierto 12 y escríbase el dígito 2 de 12, bajo los números 3 y 4 en (3) y el número 1 déjese a manera de reserva.

Cuarto, sustraiga 4 a 7, es decir haga la resta 7 - 4 (también puede ser 6 – 3 ), y el resultado que es obviamente 3, escríbase bajo los números 7 y 6.

Quinto, escríbase el número 1 (que se dejó como reserva) bajo el 3 en (4).

Sexto, finalmente, léase el resultado de la multiplicación de 7 y 6, bajo la línea horizontal, en (5), es decir 42, en el que el dígito 4 resulta de la adición de 3 y 1, ubicados en (3) y (4).

Finalmente y como una manera de complementar este escrito, el lector debiera practicar este algoritmo con las tablas del seis al nueve.


Lionel Henriquez Barrientos
Noviembre de 2005







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(*) El autor conocido como Jagdguruji o Gurudeva (1884-1960), nació en Madras, India. Estudió en las Universidad de Madras. Posteriormente obtuvo el M.A. en el American Colegge de Sciencies, Rochester, New York, de su centro en Bombay. En 919 fue iniciado en en la orden de Samayasa en Vanarasi, India. En 1925 se convierte en el jefe máximo de su orden, cargo que ocupa hasta el día de su muerte.

(**) Al respecto, es mi creencia al pensar en este tema, que lo anterior, quizás sólo es una constante en todos los libros religiosos escritos en la historia de la humanidad, lo que los estudiosos en estos temas claramente encontrarán ya sea en la Biblia del Cristianismo, Antiguo y Nuevo Testamento; en los textos sagrados Judíos, la Biblia Judía, la Cábala, la Torá y el Talmud; en el Islamismo, el Corán y también en otras religiones, con sus correspondientes libros sagrados, que existen o han existido en la historia del hombre.